Mathematik: Kreisumfang erhöhen – Wie ändert sich der Radius?

Kennt ihr folgende Geschichte?

Ein Mann (ihr dürft ihn Gott nennen, müsst ihr aber nicht) legt eine sehr sehr lange Schnur einmal um die komplette Erde. Da kommt ein Wurm zu ihm und sagt: „Die Schnur ist zu dick. Ich kann nicht darüber krabbeln. Du musst mir helfen!“ Der Mann erwidert: „Ich habe noch einen Meter Schnur übrig. Diesen werde ich noch einfügen und die Schnur wird überall gleich weit über der Erde schweben.“ Der Wurm meint: „Aber das ist doch viel zu wenig!“

Die Frage lautet also, wie viel würde die Schnur über der Erde schweben? (Mal abgesehen davon, dass es wohl nicht schweben würde, wenn es kein fester Reifen ist…)

Ich weiß nicht mehr, wie wir genau darauf gekommen sind, aber diese Frage kam bei der Rückfahrt vom Barcamp Nürnberg am Sonntag auf. Zwei der drei Mitfahrer gaben eine gute Schätzung ab, der dritte war der selben Meinung wie der Wurm, dass sich fast nichts ändern würde. Die korrekte Lösung sind 15,915 cm.

Das erscheint den meisten Menschen viel zu viel, wenn man nur einen Meter zu den knapp 40.000 km Erdumfang hinzufügt. In der Tat ist es aber so, dass es immer 15,915 cm sind – egal wie groß der Kreisumfang vorher war.

Wer in der Schule aufgepasst hat, weiß noch dass der Umfang eines Kreises (U) wie folgt aus dem Radius (r) berechnet werden kann:

Das ist schnell nach dem Radius aufgelöst:

Und dann setzen wir mal ein, was wir haben. Dabei ist ist r₁ der ursprüngliche Radius, U₁ der ursprüngliche Umfang und r₂ der neue, gesuchte Radius:

Wir sehen also, dass der neue Radius immer unabhängig vom alten Radius größer wird. Rechnet man das in Zahlen aus so ergeben sich die oben genannten 15,915 cm. (Natürlich gerundet, Pi hat ja ziemlich viele Stellen. 😉